剑指 Offer14-Ⅱ 剪绳子Ⅱ【快速幂、数学】

题目描述

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]…k[m - 1] 。请问 k[0]k[1]…*k[m - 1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

提示：

• 2 <= n <= 1000

解题思路

基本思路同14-Ⅰ剪绳子是一样的，通过数学公式求导推理可以得出，在分段的过程中，尽可能让每段都为3的情况下，乘积是最大的。

由于此题的N较大，会出现大数情况，所以对求解3的times次方采用快速幂的方式进行求解。

代码实现

static class Solution14_2 {
    public int cuttingRope(int n) {
        if(n<=3){
            return n-1;
        }
        long res=1;
        long x=3;
        int times=n/3;
        if(n-times*3==1){//当分完数为3的times段后，还剩1时，会发现 1 3的乘积小于2 2的乘积，所以此情况需要减少一次分为3的段。
            times--;
        }
        int mod=(n-times*3)/2;
        while(times!=0){//快速幂
            res=(times&1)==1?(res*x)%1000000007:res;
            times/=2;
            x=x*x%1000000007;
        }
        return (int)(res*Math.pow(2,mod)%1000000007);
    }
}

复杂度分析

时间复杂度：O(log2t) t为times

空间复杂度：O(1)

资源

https://leetcode-cn.com/problems/jian-sheng-zi-ii-lcof