剑指offer47 礼物的最大价值【DP】

题目描述

在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

示例 1:

输入: 
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物

提示：

• 0 < grid.length <= 200
• 0 < grid[0].length <= 200

解题思路

方法一：动态规划

利用动态规划的思想，使得到达每个点的价值都为最大值。

状态转移方程： 选择来自 上方 或者 左边 最大价值的。
$$
dp[i][j]=dp[i][j]+Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])
$$

代码实现

class Solution {
    public int maxValue(int[][] grid) {
        if (grid==null||grid.length == 0 || grid[0].length == 0) {
            return -1;
        }
        int rows = grid.length;
        int columns = grid[0].length;
        for (int i = 1; i < columns; i++) {
            grid[0][i] += grid[0][i - 1];
        }
        for (int i = 1; i < rows; i++) {
            grid[i][0] += grid[i - 1][0];
        }
        for (int i = 1; i < rows; i++) {
            for (int j = 1; j < columns; j++) {
                grid[i][j] += Math.max(grid[i - 1][j], grid[i][j - 1]);
            }
        }
        return grid[rows - 1][columns - 1];
    }
}

复杂度分析

时间复杂度：O($n^2$)

空间复杂度：O(1)

资料

• https://leetcode-cn.com/problems/li-wu-de-zui-da-jie-zhi-lcof/