剑指offer62 圆圈中最后剩下的数字【约瑟夫问题】

题目描述

0,1,···,n-1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始，每次从这个圆圈里删除第m个数字（删除后从下一个数字开始计数）。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

例如，0、1、2、3、4这5个数字组成一个圆圈，从数字0开始每次删除第3个数字，则删除的前4个数字依次是2、0、4、1，因此最后剩下的数字是3。

示例 1：

输入: n = 5, m = 3
输出: 3

示例 2：

输入: n = 10, m = 17
输出: 2

限制：

• 1 <= n <= 10^5
• 1 <= m <= 10^6

解题思路

[约瑟夫问题]

方法一：数学+递归

递归方程

$$f(n,m)=f(n-1,m)+m) % n$$

代码实现

public int lastRemaining(int n, int m) {
    return f(n, m);
}

private int f(int n, int m) {
    if (n == 1) {
        return 0;
    }
    int x = f(n - 1, m);
    System.out.println(x);
    return (m + x) % n;
}

复杂度分析

时间复杂度：O(n)

空间复杂度：O(n) #递归栈

方法二：数学+迭代

使用的迭代的方法优化递归。

代码实现

public int lastRemaining2(int n, int m) {
    int f = 0;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        f = (m + f) % i;
    }
    return f;
}

复杂度分析

时间复杂度：O(n)

空间复杂度：O(1)

问题

本题是找出最后剩下的那个数，如何找到第n个淘汰的数呢？如何得出每一轮淘汰的数呢？

资料

• https://leetcode-cn.com/problems/yuan-quan-zhong-zui-hou-sheng-xia-de-shu-zi-lcof/

• https://leetcode-cn.com/problems/yuan-quan-zhong-zui-hou-sheng-xia-de-shu-zi-lcof/solution/yuan-quan-zhong-zui-hou-sheng-xia-de-shu-zi-by-lee/